Τι (ποιος) είναι Унитарный оператор - ορισμός

Унитарное преобразование; Унитарный элемент; Унитарные преобразования

Унитарный оператор

обобщение понятия вращения евклидова пространства на бесконечномерный случай. Именно, У. о. - оператор вращений гильбертова пространства (См. Гильбертово пространство) вокруг нулевой точки. Оператор U, отображающий гильбертово пространство Н на себя, называется У. о., если (f, g) = (Uf, Ug)(см. Скалярное произведение) для любых двух векторов f и g из Н. У. о. не изменяет длин векторов в Н и углов между ними и является линейным оператором (См. Линейный оператор). Он имеет обратный оператор U¹, также являющийся У. о.; при этом U¹ = U*, где U* - сопряжённый оператор. Примером У. о. может служить оператор Фурье - Планшереля, ставящий в соответствие каждой функции f (x), - ∞ < х < + ∞, с интегрируемым квадратом модуля функцию

(см. Фурье преобразование). См. также Операторов теория, Спектральный анализ линейных операторов.

Унитарный оператор

Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор U : H → H на гильбертовом пространстве H, который удовлетворяет соотношению

https://ru.wikipedia.org/wiki/Унитарный_оператор

Унитарное преобразование

Линейное преобразование

x'_i = u_i1x₁ + u_i2x₂ +... + u_inx_n (i = 1, 2,..., n)

с комплексными коэффициентами, сохраняющее неизменной сумму квадратов модулей преобразуемых величин

У. п. представляет собой аналог (точнее, обобщение) поворота в евклидовой плоскости или вращения в трёхмерном евклидовом пространстве на случай n-мерного комплексного векторного пространства (См. Векторное пространство), т.к. оно сохраняет для преобразуемого вектора х с компонентами x₁, x₂,..., x_n его длину, равную

Коэффициенты У. п. образуют унитарную матрицу (См. Унитарная матрица). Совокупность У. п. n-мерного комплексного векторного пространства является группой (См. Группа) относительно умножения преобразований. В случае, когда коэффициенты u_ij и преобразуемые величины x_i действительны, У. п. является ортогональным преобразованием (См. Ортогональное преобразование) n-мерного действительного векторного пространства.

Βικιπαίδεια

Унитарный оператор

Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор $U$ : $H$ → $H$ на гильбертовом пространстве $H$ , который удовлетворяет соотношению

U^{*}U=UU^{*}=I

где $U^{*}$ — эрмитово сопряжённый к $U$ оператор, и $I$ : $H$ → $H$ единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:

$U$ сохраняет скалярное произведение 〈 , 〉 гильбертового пространства, то есть для всех векторов $x$ и $y$ в гильбертовом пространстве $\langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle .$
$U$ — сюръективный оператор.

Это также эквивалентно, казалось бы более слабому условию:

$U$ сохраняет скалярное произведение, и
образ $U$ — плотное множество.

Чтобы увидеть это, заметим, что $U$ изометричен (а поэтому является ограниченным линейным оператором). Это следует из того, что $U$ сохраняет скалярное произведение. Образ $U$ — плотное множество. Очевидно, что $U^{-1}$ = $U^{*}$ .

Унитарный элемент это обобщение понятия унитарного оператора. В унитарной *-алгебре элемент U алгебры называется унитарным элементом, если

U^{*}U=UU^{*}=I

где I единичный элемент.

Свойства унитарных преобразований:

оператор унитарного преобразования всегда обратим
если оператор ${\hat {H}}$ эрмитов, то оператор ${\hat {U}}=\exp(i{\hat {H}})$ унитарен.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Унитарный оператор